Struttura della Materia
lezioni 47 e 48

• ripasso e consolidamento della lezione precedente, teorema di Bloch: data una hamiltoniana elettronica periodica su reticolo e condizioni periodiche al contorno, le autofunzioni sono classificate dal numero quantico k (un numero d'onda o un vettore d'onda a seconda che si tratti di un reticolo unidimensionale, bidimensionale o tridimensionale) e si possono scrivere come il prodotto di una funzione periodica su reticolo e una funzione la cui periodicità spaziale è invece dettata dal vettore d'onda, e può corrispondere a qualunque lunghezza d'onda intermedia fra infinito (centro della zona di Brillouin, k=0) e la lunghezza d'onda piú piccola compatibile con il reticolo, che in questi esempi semplici si identifica con la distanza fra siti reticolari primi vicini.
• con base minima di un orbitale per atomo + condizioni periodiche al bordo la periodicità spaziale dell'hamiltoniana (qualsiasi traslazione discreta che manda il reticolo in se stesso la lascia invariata) è sufficiente a individuare completamente autostati e corrispondenti autovalori energetici
• se si fa l'ulteriore ipotesi di trascurare tutti gli elementi di matrice dell'hamiltoniana fra orbitali che non siano relativi a siti primi vicini del reticolo (approssimazione tight binding a primi vicini), gli autovalori energetici assumono una forma molto semplice
• banda ε(k) in 1D e ε(k) in 2D e 3D per una base minima LCAO di un solo orbitale 1s per atomo e un solo atomo su ciascun sito di un reticolo periodico (lineare, quadrato e cubico semplice) in approssimazione tight binding a primi vicini: minimo, massimo, larghezza di banda, studio di ε(k) lungo particolari direzioni di simmetria nella zona di Brillouin
• definizione della densità degli stati g(ε); densità degli stati e numero degli stati per i livelli di un atomo isolato (spettro discreto) e per la banda di energia continua dei tre modelli 1d, 2D e 3D appena visti; precisazioni (cfr. testo EFAMS pagine 116-117) sulla normalizzazione di g(ε) (il suo integrale nell'esempio atomico conviene normalizzarlo al numero totale degli stati, ma nel caso di un sistema periodico esteso con condizioni periodiche al bordo conviene invece normalizzarlo o al numero di stati per sito reticolare, o al numero di stati per unità di lunghezza, superficie o volume a seconda che si tratti di una catena lineare, di un reticolo 2D o di un reticolo 3D
• singolarità di van Hove in corrispondenza di minimo e massimo della banda, e nel caso 2D e 3D anche in altre energie intermedie corrispondenti, in spazio k, a particolari punti o linee nella zona di Brillouin dove si annulla il gradiente ∇_kε
• riepilogando, abbiamo N siti con un orbitale per sito; nel nostro modelllo 1D produce un'unica banda di energia ε(k) con N valori di k permessi, e in 2D o 3D produce un'unica banda ε(k) con N valori di k permessi
• se vogliamo affidarci all'approssimazione di elettroni indipendenti (Hartree-Fock) come già fatto per atomi e molecole, dobbiamo ora occupare con due elettroni (principio di Pauli) ciascuno degli stati spaziali individuato da uno degli N valori di k (in 1D) o di k (in 2D e 3D) in ordine di energia ε crescente, fino ad esaurire gli elettroni del sistema
• quanti sono in tutto gli elettroni di un simile sistema modello? se l'atomo di cui il reticolo è una ripetizione periodica nello spazio ha un solo elettrone, come l'idrogeno, il numero totale degli elettroni da sistemare nella banda ε è N; se ne ha due, come l'elio, il numero è 2N
• nel primo caso (1 elettrone per sito) riempio gli N/2 stati k (k) piú bassi in energia, e la banda rimane mezza vuota; nel secondo caso li riempio tutti, e la banda risulta completamente occupata
• si definisce livello di Fermi l'energia che segna il confine fra l'ultimo stato occupato e il primo stato vuoto
• nei tre modelli semplici 1D, 2D e 3D appena considerati la densità degli stati è simmetrica rispetto al centro della banda ε_o , quindi se c'à un solo elettrone per sito il livello di Fermi coincide con ε_o, se ce ne sono due e la banda è piena si può dire che il livello di Fermi coincide con la cima della banda, anche se in realtà il modello è talmente semplice che dopo non ci sono piú stati
• NB i solidi reali hanno altri tipi di reticolo (praticamente nessun solido cristallizza nel sistema quadrato o cubico semplice), piú di un atomo per sito e piú di un orbitale per atomo, ma questo modello semplice è molto utile per comprendere gli aspetti elementari degli stati elettronici di una hamiltoniana periodica con condizioni periodiche al bordo

• il primo scritto finale è previsto per lunedí 20 giugno alle ore 15, come ovunque è scritto fin da inizio semestre
• il primo orale finale è previsto per lunedí 4 luglio alle ore 9, come ovunque è scritto fin da inizio semestre
• per gli "early birds" che hanno passato tutti e due gli esoneri e vogliono laurearsi a luglio è prevista una sessione orale extra per venerdí 10 giugno (ultimo giorno di lezione) alle 14:30
• con gli studenti che mi hanno chiesto un orale intermedio fra "early birds" e 4 luglio abbiamo fissato la data di martedí 28 giugno, orari esatti e lista definitiva degli studenti interessati a questo orale intermedio da concordare entro max la settimana precedente