Struttura della Materia
lezioni 49 e 50

• ancora qualche parola sulla densità degli stati: se h è l'hamiltoniana elettronica, i l'unità immaginaria e η un infinitesimo reale positivo si ha (vedere anche qui) che
  g(ε) = ‐ (1/π) Im Tr (ε ‐ h + iη)^‐1 = Tr δ(ε ‐ h) = ∑_n〈n| δ(ε ‐ h) |n〉= ∑_nδ(ε ‐ ε_n)〈n|n〉 = ∑_nδ(ε ‐ ε_n)
• se lo spettro è discreto il risultato è una semplice somma di funzioni delta di Dirac
• se, come nei cristalli, lo spettro degli autovalori di h è continuo (o praticamente continuo) e naturalmente espresso in funzione di una variabile k (scalare o vettoriale a seconda della dimensionalità del cristallo) definita nella prima zona di Brillouin, per il calcolo della densità degli stati [analitico o numerico a seconda della semplicità o meno delle bande di energia ε(k)] risulta utile la proprietà della delta di Dirac _a∫ ^b u(x) δ[v(x)] dx = ∑_xo u(x_o) |dv/dx|^‐1 dove x_o è l'insieme dei punti dove si annulla la funzione v(x); infatti, per ogni energia ε, ciò riduce il calcolo di g(ε) :
• in 1D alla somma dell'inverso di |dε/dk| nei due punti k tali che ε(k) = ε,
• in 2D in un integrale di linea dell'inverso del modulo di ∇_kε(k) sulla curva a energia costante ε(k) = ε;
• in 3D in un integrale di superficie dell'inverso del modulo di ∇_kε(k) sulla superficie a energia costante ε(k) = ε
...provare per credere! [con una banda parabolica ε(k) = k²/2 è tutto analitico]


• finché mi affido alla teoria Hartree-Fock (elettroni indipendenti) e continuo a immaginare la funzione d'onda di N_e elettroni come un determinante N_e × N_e di spin-orbitali di singolo elettrone, lo stato fondamentale si ottiene "riempiendo" in ordine di energia crescente ciascuno degli stati spaziali con due elettroni (principio di Pauli)
• nel cristallo periodico tight-binding a primi vicini (catena lineare 1D, reticolo quadrato 2D e reticolo cubico 3D) fin qui considerato ho N siti con un solo atomo per sito e un solo orbitale per atomo;
• dalla combinazione lineare di questi N orbitali spaziali atomici ottengo N orbitali spaziali elettronici estesi su tutto il cristallo (stati di Bloch);
• se ho un solo elettrone per atomo (N_e = N), provando a "riempire" con due elettroni ciascuno questi N orbitali spaziali (caratterizzati dal numero quantico k) in ordine di energia crescente ε(k), riusciamo a riempirne solo gli N/2 piú bassi in energia, lasciando vuoti gli N/2 piú alti; il che, data la simmetria delle bande di questo modello rispetto al valore centrale ε_o, implica che proprio lí si trova l'ultimo stato elettronico occupato (il che definisce l'energia di Fermi, o livello di Fermi ε_F), cosicché la banda risulta piena a metà (vedi figura);
• se invece ho due elettroni per atomo (N_e = 2N), provando a "riempire" con due elettroni ciascuno gli N orbitali spaziali in ordine di energia crescente ε(k), alla fine li riempio tutti e N: adesso il livello di Fermi cade in cima alla banda, che risulta completamente piena (vedi figura)


• nel modello tight-binding a primi vicini che stiamo considerando, con un solo elettrone per atomo (N_e = N):
• in 1D all'energia di Fermi ε_F = ε_o (in tutte le figure seguenti scelta come origine delle energie ε_o = 0) corrispondono due punti k = ±π/2a, che nella prima zona di Brillouin k ∈ (‐π/a, π/a) segnano il confine fra il segmento che contiene gli N/2 stati spaziali pieni (‐π/2a, π/2a) e i due segmenti compresi rispettivamente fra ‐π/a e ‐π/2a e fra +π/a e +π/2a, che contengono N/4 stati spaziali vuoti ciascuno; siccome per le condizioni periodiche al bordo i k sono equispaziati, la lunghezza del segmento relativo agli stati pieni è uguale alla somma delle lunghezze dei due segmenti relativi agli stati vuoti;
• in 2D all'energia di Fermi corrisponde una curva ε(k) = ε_F = ε_o (viola nella figura) che divide la prima zona di Brillouin (un quadrato di lato 2π/a) in due regioni, una corrispondente ai k doppiamente occupati (viola chiaro nella figura) e una ai k vuoti (bianco nella figura); la superficie di queste due regioni ha area identica perché i k permessi dalle condizioni periodiche al bordo sono equispaziati e ce ne sono N/2 in ciascuna delle due regioni;
• in 3D all'energia di Fermi corrisponde una superficie ε(k) = ε_F = ε_o; detta superficie di Fermi; essa divide la prima zona di Brillouin (un cubo di lato 2π/a) in due regioni, una corrispondente ai k doppiamente occupati e una ai k vuoti; anche qui il volume delle due regioni è identico perché i k permessi dalle condizioni periodiche al bordo sono equispaziati e ce ne sono N/2 in ciascuna delle due regioni;
• la particolare relazione funzionale fra energia ε e vettore d'onda k nella prima zona di Brillouin del modello tight-binding a primi vicini su reticolo cubico produce una superficie di confine aperta fra le due regioni, illustrata come una superficie viola in questa figura;
• sfruttando la periodicità delle bande nello spazio reciproco (legata alla dimensione della cella primitiva la cui ripetizione definisce il cristallo nello spazio reale) è possibile e utile visualizzare una simile superficie di Fermi aperta su piú di una zona di Brillouin
• se invece la relazione fra energia e vettore d'onda fosse stata, ad esempio, quella di un elettrone libero (banda parabolica), la superficie di Fermi sarebbe stata una superficie chiusa particolarmente semplice: una sfera (vedi figura), anch'essa naturalmente di volume pari alla metà del volume della prima zona di Brillouin; se provassimo come prima a farne un grafico su piú di una zona di Brillouin, vedremmo semplicemente quella sfera ripetuta periodicamente in ciascuna delle altre zone di Brillouin mostrate
Elettrone libero: teoria della conduzione da Drude a Sommerfeld (testo EFAMS pagine 120-129, Ashcroft-Mermin capitoli 1 e 2)
• calore specifico, velocità media, cammino libero medio e conducibilità di un gas di elettroni secondo Drude (statistica di Boltzmann) e Sommerfeld (statistica Fermi-Dirac)