Elettrone classico e quantistico, tubo catodico, esperimento di Franck e Hertz

pacchetto d'onda gaussiano in una dimensione, in assenza di campo elettrico: elettrone in quiete o in moto rettilineo uniforme
siccome nel pacchetto gaussiano (vedere ad esempio questo sussidio dell'università del Colorado) il valore di aspettazione è Δx = σ_o / √2 e Δp = ℏ / (σ_o√2), per il pacchetto gaussiano Δx Δp = ℏ / 2, dove vale il segno uguale anziché maggiore o uguale: il pacchetto gaussiano è quello di minima indeterminazione
per t > 0 il pacchetto si allarga progressivamente in spazio reale; ma si allarga anche per t < 0 (come si vede dalla sua espressione analitica, che risulta invariante per inversione temporale, come deve); l'istante t = 0 (l'unico in cui la funzione d'onda è reale) è, quindi, quello di minima larghezza
passaggio da una a tre dimensioni
quanto in fretta si allarga un pacchetto gaussiano? ovvero: quanto a lungo un elettrone inizialmente localizzato rimane ancora abbastanza localizzato? considerazioni quantitative
per il tempo libero a casa ☺! provare risolvere l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo per un pacchetto gaussiano in presenza di campo elettrico spazialmente uniforme e costante nel tempo (come dentro a un condensatore); quando vi siete stufati di provare a risolvere il problema da soli trovate la soluzione in biblioteca: "Motion of an electron wave packet in a uniform electric field", American Journal of Physics volume 46, pagina 537 (1978) o in una parte di questo articolo piú recente, reperibile online.

per un elettrone accelerato in un tubo catodico è necessario un trattamento relativistico? finché la differenza di potenziale fra catodo e anodo è di qualche migliaio di volt non è necessario perché le velocità tipiche degli elettroni sono molto minori di quella della luce.

pausa cinematografica: come si evolve un sistema quantistico quando lo stato iniziale non coincide con uno degli autostati dell'hamiltoniana indipendente dal tempo (stati stazionari) ma è una loro combinazione lineare? evoluzione temporale di un pacchetto d'onda gaussiano in un potenziale armonico e in un pozzo con pareti infinite (questa animazione mostra il modulo quadro della funzione d'onda ovvero la densità di probabilità in funzione del tempo)

secondo esercizio: ora che sappiamo che l'elettrone, benché quantistico, in opportune circostanze (per esempio in un tubo catodico) si comporta per molti aspetti come una particella carica classica, studiamo un esperimento storico realizzato in un tubo catodico riempito con vapori di mercurio

testo, svolgimento e discussione
è l'esperimento di Franck e Hertz del 1914, fondamentale per la meccanica quantistica: "so lovely it makes you cry" (A. Einstein)
qui un'altra presentazione semplice ed efficace dell'esperimento di Franck e Hertz